sin2x = ? - Công thức lượng giác

Công thức lượng giác cơ bạn dạng đưa rời khỏi cách thức và những ví dụ ví dụ, hùn chúng ta học viên trung học phổ thông ôn tập luyện và gia tăng kỹ năng và kiến thức về dạng toán chuyển đổi công thức lượng giác 10, 11 và lớp 12. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, những bài bác tập luyện ví dụ minh họa đem điều giải và bài bác tập luyện tập luyện hùn chúng ta khái quát nhiều loại bài bác mục chính lượng giác. Chúc chúng ta tiếp thu kiến thức hiệu quả!

Công thức nhân đôi

A. Công thức sin 2x

sin 2x = 2 sin x . cos x

$\sin 2x = \dfrac{{2\tan \left( x \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( x \right)}}$

Ví dụ: Biến đổi A = 1 + sin 2x trở thành tích

Hướng dẫn giải

A = 1 + sin 2x

A = sin²x + cos²x + 2 . sin x . cos x

A = (sin x + cos x)²

A = (sin x + cos x) . (sin x + cos x)

Ví dụ: Biến thay đổi trở thành tích: 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x

= 1 + sin 2x – cos 2x – sin 2x/cos 2x

= [cos 2x (1 + sin 2x) – cos²2x – sin 2x]/cos 2x

= [sin 2x . (cos 2x – 1) – cos²2x + cos 2x]/cos 2x

= [sin 2x . (cos 2x – 1) – cos 2x . (cos 2x – 1)]/cos 2x

Ví dụ: Biến thay đổi trở thành tích: sin x – sin 2x + sin 3x

Hướng dẫn giải

Ta có: Sin x – sin 2x + sin 3x

= sin x – 2 . sin x . cos x + 3 sin x – 4 sin³x

= – 4 . sin³x + 4 . sin x – 2 . sin x . cos x

= 2 . sin x . (– 2 sin²x + 2 – cos x)

= 2 . sin x .(– 2 sin²x + 2 sin²x + 2 cos²x – cos x)

= 2 . sin x . (2 cos²x – cos x)

= 2 . sin x . cos x . (2 cos x – 1)

= sin 2x . (2 cos x – 1)

Ví dụ: Chứng minh những đẳng thức sau:

a) ${\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$

b) sin x . (1 + cos 2x) = sin 2x . cos x

c) $\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = - \frac{2}{{\tan 2x}}$

d) $\tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = \tan x$

Hướng dẫn giải

a) Biến thay đổi vế trái ngược tao có:

${\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} + x} \right) - {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{8} - x} \right)$

$= \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2} - \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)}}{2}$

$= \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right)}}{2}$

$= \frac{{ - 2\sin \frac{\pi }{4}.\sin \left( { - 2x} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin 2x = VP$

⇒ Điều cần triệu chứng minh

b) Biến thay đổi vế trái ngược tao có:

sin x . (1 + cos 2x)

= sin x . 2cos² x

= (2 sin x . cos x) . cos x

= sin 2x . cos x = VP

⇒ Điều cần triệu chứng minh

c) Biến thay đổi vế trái ngược tao có:

$\tan x - \frac{1}{{\tan x}}$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$

$= \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}$

$= \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = \frac{{ - 2}}{{\tan 2x}} = VP$

⇒ Điều cần triệu chứng minh

d) Biến thay đổi vế trái ngược tao có:

$\tan \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right)$

$= \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}.\frac{{1 + \cos x}}{{2\cos x}}$

$= \frac{{\sin \frac{x}{2}.2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\cos \frac{x}{2}.\cos x}}$

$= 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}.\frac{1}{{\cos x}} = \tan x = VP$

⇒ Điều cần triệu chứng minh

Ví dụ: Rút gọn gàng những biểu thức sau:

a) $A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

b) $B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

c) $B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

d) $D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều khiếu nại $\cos \frac{x}{2} \ne 0$

$A = \frac{{1 + \sin x - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

$A = \frac{{1 + \sin x - \left[ {1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]}}{{4.\cos \frac{x}{2}}}$

$A = \frac{{\sin x - \sin x}}{{4.\cos \frac{x}{2}}} = 0$

b) Ta có:

Điều kiện: cos 2x . sin 2x ≠ 0

$B = \frac{{{{\cos }^2}x.\sin x - {{\sin }^2}x.\cos x}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

$B = \frac{{\cos x.\sin x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}}{{\sin 2x.\cos 2x}}$

$B = \frac{{\cos x.\sin x.\cos 2x}}{{\sin 2x.\cos 2x}} = \frac{1}{2}$

c) Ta có:

Điều kiện: (1 + cos 4x) . (1 + cos 2x) ≠ 0

$C = \frac{{\sin 4x.\cos 2x}}{{\left( {1 + \cos 4x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}}$

$C = \frac{{2.\sin 2x\cos 2x.\cos 2x}}{{2{{\cos }^2}2x.{{\cos }^2}x}}$

$C = \frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x}}$

$C = \frac{{2.\cos x\sin x}}{{2{{\cos }^2}x}} = \tan x$

d) Ta có:

$D = \frac{{{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}2x\left( {4{{\sin }^2}x - 4} \right)}}$

$D = \frac{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\sin }^2}x}}{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}$

$D = \frac{{{{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)}} = \frac{{ - {{\sin }^4}x}}{{ - {{\cos }^4}x}} = {\tan ^4}x$

B. Hàm số nó = sin 2x

1. Tập xác lập của hàm số nó = sin 2x

Tập xác lập D = R

2. Tập độ quý hiếm của nó = sin 2x

– 1 ≤ sin 2x ≤ 1

⇒ Giá trị lớn số 1 của nó = sin 2x bởi vì 1

⇒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số nó = sin 2x bởi vì – 1

3. Tính chẵn lẻ của hàm số nó = sin 2x

Với x ∈ D ⇒ – x ∈ D tao có:

y = sin 2x

y(– x) = sin (– 2x) = – sin 2x

⇒ y(x) = – nó (– x)

⇒ Hàm số là hàm số lẻ

Vậy hàm số nó = sin 2x là hàm số lẻ

4. Chu kì tuần trả của hàm số nó = sin 2x

Hàm số nó = sin 2x tuần trả với chu kì T = π

Công thức ngỏ rộng:

Hàm số nó = sin (ax + b) tuần trả với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$

C. Đồ thị hàm số nó = sin 2x

sin2x

Hàm số nghịch ngợm vươn lên là bên trên khoảng chừng $\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right);\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. Đạo hàm sin 2x

y = sin 2x

⇒ y’ = (sin 2x)’

⇒ y’ = (2x)’ . [cos 2x]

⇒ y’ = 2 . cos (2x)

Vậy đạo hàm của nó = sin 2x là y’ = 2 cos (2x)

E. Nguyên hàm sin 2x

$\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd\left( {2x} \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} }$

Vậy bọn họ vẹn toàn hàm của hàm số nó = sin 2x là $\int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C}$

F. Phương trình lượng giác

• sin 2x + cos 2x = 1

• Sin 2x + cos 2x = 0

• Cos x = 0

• Tan x = 0

• Sin x = cos x

• cos 2x

• sin4 x + cos4 x

-------------------------------------------------