Đường phân giác trong tam giác vuông

Đường phân giác nhập tam giác vuông

I. Lý thuyết

Trong tam giác vuông, lối phân giác của góc vuông sở hữu những đặc điểm quan trọng và cần thiết, tương quan cho tới những tỉ số của những cạnh và cơ hội bọn chúng phân tách tam giác.

• Định nghĩa: Đường phân giác của góc vuông nhập tam giác vuông là đường thẳng liền mạch trải qua đỉnh góc vuông và phân tách song góc cơ.

• Tính chất: Đường phân giác của góc vuông nhập tam giác vuông phân tách cạnh huyền trở nên nhị đoạn trực tiếp đều nhau.

• Công thức liên quan: Nếu lối phân giác xuất phát điểm từ góc vuông phân tách cạnh huyền là AB trở nên nhị phần đều nhau, thì $𝐴𝐵=2\cdot 𝐴𝐷$, với D là vấn đề phân tách song cạnh huyền.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tam giác ABC sở hữu AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm, lối phân giác nhập AD, lối phân giác ngoài AE. Tính những chừng nhiều năm DB, EB.

Lời giải

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, AB = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là phó điểm những lối phân giác của tam giác. Tính chừng nhiều năm AI.

Lời giải

III. Bài tập luyện vận dụng

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông bên trên A, lối phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 centimet và DC = 5 centimet.

Lời giải

Áp dụng đặc điểm lối phân giác BD của tam giác ABC, tao có:

với t > 0

Áp dụng toan lý Py – tao – go tao có:

BC² = AC² + AB² hoặc (5t)² = 92 + (4t)² ⇔ (3t)² = 92 ⇒ t = 3 (vì t > 0)

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Bài 2: Cho tam giác ABC, những lối phân giác BD và CE. tường AD/DC = 2/3, EA/EB = 5/6. Tính những cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Lời giải

Áp dụng đặc điểm của những lối phân giác BD và CE của tam giác ABC tao được:

Theo fake thiết tao có: PABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm; AC = 15cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AB = 6, AC = 8. Tia phân giác góc B rời AC bên trên D. Độ nhiều năm AD là:

Giải:

Tam giác ABC vuông bên trên A, vận dụng toan lý Pytago có: BC² = AB² + AC²

Bài 4: Cho tam giác ABC, , AB = 15cm, AC = 20cm, lối cao AH (H Є BC). Tia phân giác của rời HB bên trên D. Tia phân giác của rời HC bên trên E. Tính DH?

Giải:

Áp dụng toan lý Pytago nhập tam giác ABC vuông bên trên A, tao có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 20² = BC² ⇒ BC = 25

Áp dụng toan lý Pytago nhập tam giác AHB vuông bên trên H, tao có:

AB² = AH² + HB²

⇔ 15² = 12² + HB²

⇒ HB² = 81 ⇒ HB = 9

⇒ HC = BC – HB = 25 – 9 = 16

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AB = 3 centimet, AC = 4 centimet. Đường phân giác của góc A rời BC bên trên D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ lối cao AH. Tính AH, HD và AD.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông bên trên A, vận dụng toan lí Pythagore, tao có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$ suy đi ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ suy đi ra $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}\left(cm\right).$

Do cơ $DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}\left(cm\right).$

Vậy BC = 5 centimet, $DB=\frac{15}{7}\mathrm{cm}$, $DC=\frac{20}{7}\mathrm{cm}$

b) Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow A\mathrm{H}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\left(\mathrm{cm}\right)$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên

$HB=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{9}{5}\left(\mathrm{cm}\right)$

Ta có: $HD=DB-HB=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}$(cm)

Tam giác ABH vuông bên trên H nên

$AD=\sqrt{H{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{12}{35}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$

Vậy $A\mathrm{H}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$, $\mathrm{HD}=\frac{12}{35}\mathrm{cm}$, $AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}\mathrm{cm}$.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AB = 3 centimet, AC = 6 centimet. Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của góc A rời BC bên trên D.

a. Tính BC?

b. Chứng minh: tam giác BAD = tam giác EAD

c. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của G bên trên Ab, AC. Chứng minh rằng: điểm D cơ hội đều AB và AC.

Giải

a. Xét tam giác ABC vuông bên trên A, tao có:

AB^2 + AC^2 = BC^2 (định lý pytago)

=> BC = căn bậc nhị của 45 (cm)

b. Vì E là trung điểm của AC nên:

AE = một nửa AC = 3cm => AE = AB

Xét tam giác BAD và tam giác EAD có:

góc BAd = góc EAD (AD là phân giác)

AD chung

AB = AE (chứng minh tên)

Do cơ, tam giác BAD = tam giác EAD (cgc)

c. Vì D phía trên tia phân giác của góc BAC nên DH = DK (tính hóa học tia phân giác của một góc)

Vậy điểm D cơ hội đều AB và AC.